1. अनुपात (Ratio)
परिभाषा: दो एक ही प्रकार की (सजातीय) राशियों की तुलना जब भाग (Division) द्वारा की जाती है, तो उसे अनुपात कहते हैं। यह दर्शाता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी गुनी है।
संकेत: इसे विसर्ग संकेत (:) द्वारा दर्शाया जाता है।
गणितीय रूप: यदि दो राशियाँ $a$ और $b$ हैं, तो उनके अनुपात को $a : b$ या $\frac{a}{b}$ लिखा जाता है।
यहाँ $a$ को प्रथम पद (Antecedent) और $b$ को द्वितीय पद (Consequent) कहते हैं।
अनुपात की प्रमुख विशेषताएँ (Characteristics of Ratio):
सजातीयता (Same Units): अनुपात हमेशा समान इकाई (Units) वाली राशियों के बीच ही निकाला जाता है (जैसे—किलोग्राम की तुलना किलोग्राम से, मीटर की तुलना मीटर से)।
इकाई-रहित (No Units): अनुपात का कोई व्यंजक या इकाई (Unit) नहीं होती, क्योंकि समान इकाइयाँ भाग देने पर कट जाती हैं।
समान संख्या से गुणा/भाग पर अपरिवर्तित: यदि अनुपात के दोनों पदों ($a$ और $b$) को किसी एक ही गैर-शून्य (non-zero) संख्या $k$ से गुणा या भाग किया जाए, तो अनुपात का मान नहीं बदलता:
$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k}$$सरलतम रूप (Simplest Form): अनुपात को हमेशा उसके सरलतम रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ दोनों पदों का म.स.प. (HCF) $1$ होता है। (जैसे: $10 : 15 \rightarrow 2 : 3$)
क्रम का महत्व (Order Matters): अनुपात में पदों का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। $a : b$ और $b : a$ दोनों का अर्थ अलग-अलग होता है ($2 : 3 \neq 3 : 2$)।
2. समानुपात (Proportion)
परिभाषा: जब दो अनुपात आपस में बराबर होते हैं, तो उस समता (Equality) को समानुपात कहते हैं।
संकेत: इसे (::) या बराबर (=) के चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
गणितीय रूप: यदि $a : b$ और $c : d$ दो बराबर अनुपात हैं, तो इसे $a : b :: c : d$ लिखा जाता है।
यहाँ $a, b, c, d$ को समानुपाती पद कहते हैं।
$a$ और $d$ को बाह्य पद (Extreme Terms) तथा $b$ और $c$ को मध्य पद (Middle/Mean Terms) कहा जाता है।
समानुपात की प्रमुख विशेषताएँ (Characteristics of Proportion):
मध्य पदों और बाह्य पदों का नियम (Cross Multiplication Rule):
समानुपात की सबसे मुख्य विशेषता यह है कि बाह्य पदों का गुणनफल हमेशा मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है:
$$\text{बाह्य पदों का गुणनफल} = \text{मध्य पदों का गुणनफल}$$$$a \times d = b \times c$$समानुपाती रूपांतरण के नियम (Fundamental Theorems):
यदि $a : b :: c : d$ (अर्थात् $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$) हो, तो:
Invertendo (व्युत्क्रमानुपात): $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
Alternando (एकांतराकानुपात): $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
Componendo (योगानुपात): $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$
Dividendo (अंतरानुपात): $\frac{a – b}{b} = \frac{c – d}{d}$
Componendo & Dividendo (योगांतरानुपात): $\frac{a + b}{a – b} = \frac{c + d}{c – d}$
सतत समानुपात (Continued Proportion):
यदि तीन राशियाँ $a, b, c$ सतत समानुपात में हों, तो $a : b :: b : c$ लिखा जाता है।
$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \implies b^2 = a \times c \implies b = \sqrt{a \times c}$$यहाँ $b$ को $a$ और $c$ का मध्यानुपाती (Mean Proportional) कहा जाता है।
💡 संक्षिप्त तुलना (Quick Summary Table)
| आधार | अनुपात (Ratio) | समानुपात (Proportion) |
| अर्थ | दो राशियों की तुलना (भाग द्वारा) | दो अनुपातों की समानता |
| संकेत | : | :: या = |
| न्यूनतम पद | 2 पद ($a, b$) | 4 पद ($a, b, c, d$) |
| मुख्य सूत्र | $\frac{a}{b}$ | $a \times d = b \times c$ |
1. अनुपात की विशेषताओं के 2 व्यावहारिक उदाहरण (Real-Life Examples of Ratio Characteristics)
अमित पूनिया
संस्थापक एवं शिक्षक | English Era With Amit Poonia