LCM and GCD / HCF का पूरा Concept
1. LCM (Least Common Multiple – लघुत्तम समापवर्तक)
2. GCD / HCF (Greatest Common Divisor / Highest Common Factor – महत्तम समापवर्तक)
1. LCM (Least Common Multiple – लघुत्तम समापवर्तक)
Definition: वह सबसे छोटी (Smallest) संख्या जो दी गई दो या दो से अधिक संख्याओं से पूरी तरह विभाजित (Divisible) हो जाए। छोटी से छोटी (Smallest) संख्या से है जिसे $12$ और $18$ दोनों मिलकर विभाजित कर सकें (यानी LCM), तो वह $36$ है।
Simple Meaning: यह दिए गए numbers का सबसे छोटा Common Multiple (गुणज) होता है।
Use Case: जब आप Fractions (भिन्न) का जोड़ या घटाव (Addition/Subtraction) करते हैं, तो Denominator (हर) का LCM निकाला जाता है।
2. GCD / HCF (Greatest Common Divisor / Highest Common Factor – महत्तम समापवर्तक)
Definition: वह सबसे बड़ी (Largest) संख्या जो दी गई दो या दो से अधिक संख्याओं को पूरी तरह विभाजित (Divide) कर दे। वह बड़ी से बड़ी (Greatest) संख्या जो $12$ और $18$ दोनों को पूरी तरह विभाजित (Divide) करती है, वह $6$ है।
Simple Meaning: यह दिए गए numbers का सबसे बड़ा Common Factor (गुणनखंड) होता है।
Use Case: Fractions (भिन्न) को उनके Simplest Form (सरलतम रूप) में काटने या बड़ी संख्याओं को बराबर भागों में बांटने के लिए GCD का इस्तेमाल होता है।
3. Key Differences (मुख्य अंतर)
| Feature | LCM (Least Common Multiple) | GCD / HCF (Greatest Common Divisor) |
| Meaning | Numbers का सबसे छोटा Multiple | Numbers को divide करने वाला सबसे बड़ा Factor |
| Value Size | दी गई सबसे बड़ी संख्या के बराबर या उससे बड़ा होता है | दी गई सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे छोटा होता है |
| Focus | Multiples (पहाड़ा/गुणज) ढूंढना | Divisors/Factors (भाजक/गुणनखंड) ढूंढना |
4. Example: 12 और 18 का LCM और GCD कैसे निकालें?
Prime Factorization Method (अभाज्य गुणनखंड विधि)
सबसे पहले दोनों numbers का Prime Factorization करें:
$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
$18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2$
GCD/HCF निकालने का तरीका:
दोनों में जो Prime Factors Common हों, उनकी सबसे छोटी घात (Lowest Power) को गुणा करें:
$$\text{GCD}(12, 18) = 2^1 \times 3^1 = 6$$LCM निकालने का तरीका:
सभी Prime Factors की सबसे बड़ी घात (Highest Power) को गुणा करें:
$$\text{LCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$$
Formula Relationship (महत्वपूर्ण सूत्र)
किसी भी दो पॉजिटिव संख्याओं $a$ और $b$ के लिए:
उदाहरण:
भाग विधि से LCM निकालने के नियम (Steps)
संख्याओं को पंक्ति (Row) में लिखें: जिन संख्याओं का LCM निकालना है, उन्हें एक साथ लिखें।
सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें: सबसे छोटी संख्या (जैसे 2, 3, 5, 7…) से भाग देना शुरू करें, जो कम से कम किसी एक संख्या को पूरी तरह विभाजित कर सके।
शेषफल और शेष संख्याएँ नीचे लिखें:
जो संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाए, उसका भागफल (Quotient) नीचे लिखें।
जो संख्या पूरी तरह विभाजित न हो, उसे वैसा ही नीचे उतार दें।
प्रक्रिया दोहराएँ: यह काम तब तक करते रहें जब तक कि नीचे अंतिम पंक्ति में केवल 1, 1, 1 न बच जाए।
LCM की गणना करें: स्तंभ (Column) के बाईं ओर आए सभी भाजकों (Divisors) का आपस में गुणा (Multiply) कर लें। वही आपका LCM होगा।
उदाहरण: 12, 18 और 24 का LCM (भाग विधि द्वारा)
| भाजक (Divisor) | संख्याएँ (Numbers) |
| 2 | 12, 18, 24 |
| 2 | 6, 9, 12 |
| 2 | 3, 9, 6 |
| 3 | 3, 9, 3 |
| 3 | 1, 3, 1 |
| 1, 1, 1 |
GCD (Greatest Common Divisor / महत्तम समापवर्तक – HCF) निकालने की भाग विधि (Long Division Method) बड़ी संख्याओं का GCD निकालने का सबसे आसान और सटीक तरीका है।
इसे यूक्लिड की भाग विधि (Euclidean Algorithm) भी कहते हैं।
भाग विधि (Division Method) के नियम
बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें: दी गई दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को भाज्य (Dividend) और छोटी संख्या को भाजक (Divisor) बनाएँ।
शेषफल (Remainder) निकालें: भाग देने के बाद जो शेषफल प्राप्त होता है, उसे ध्यान में रखें।
शेषफल को नया भाजक बनाएँ: यदि शेषफल $0$ नहीं आता है, तो शेषफल (Remainder) को नया भाजक (Divisor) बना लें और पुराने भाजक (Divisor) को नया भाज्य (Dividend) बना दें।
प्रक्रिया दोहराएँ: यह प्रक्रिया तब तक बार-बार दोहराते रहें जब तक कि शेषफल 0 (Zero) न आ जाए।
अंतिम भाजक ही GCD है: जिस अंतिम भाजक से भाग देने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है, वही दोनों संख्याओं का GCD / HCF होता है।
उदाहरण: 56 और 98 का GCD (भाग विधि द्वारा)
यहाँ बड़ी संख्या $98$ है और छोटी संख्या $56$ है।
चरण 1: $98$ को $56$ से भाग दें।
$$98 \div 56 = 1 \quad \text{(भागफल)}$$$$\text{शेषफल (Remainder)} = 98 – 56 = 42$$(चूँकि शेषफल $0$ नहीं है, इसलिए आगे बढ़ेंगे।)
चरण 2: अब शेषफल $42$ से पुराने भाजक $56$ को भाग दें।
$$56 \div 42 = 1 \quad \text{(भागफल)}$$$$\text{शेषफल (Remainder)} = 56 – 42 = 14$$चरण 3: अब शेषफल $14$ से पुराने भाजक $42$ को भाग दें।
$$42 \div 14 = 3 \quad \text{(भागफल)}$$$$\text{शेषफल (Remainder)} = 0$$
यहाँ अंतिम भाजक 14 है, जिससे भाग देने पर शेषफल $0$ आया है।
संरचित रूप (Step-by-step Division View)
GCD (HCF) निकालने का एक और बहुत आसान तरीका है, जिसमें संख्याओं का अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization) करके GCD निकाला जाता है।
यह तरीका ठीक LCM की भाग विधि की तरह ही स्तंभ (Column) में भाग देकर किया जाता है, बस अंतर यह है कि इसमें प्रत्येक संख्या को अलग-अलग स्तंभ में रखकर तब तक भाग दिया जाता है जब तक कि नीचे 1 न बच जाए।
नियम (Steps)
दी गई सभी संख्याओं के अलग-अलग स्तंभ (Columns) बनाएँ।
सबसे छोटी अभाज्य संख्या ($2, 3, 5, 7\dots$) से प्रत्येक संख्या को अलग-अलग भाग देकर उनका Prime Factorization करें।
भाग देने की प्रक्रिया तब तक करें जब तक कि सभी संख्याओं के नीचे अंतिम पंक्ति में 1 न आ जाए।
अब दोनों (या तीनों) के अभाज्य गुणनखंडों (Prime Factors) को आमने-सामने लिखें।
केवल उन अभाज्य गुणनखंडों को चुनें जो दोनों में Common (उभयनिष्ठ) हों।
उन Common अंकों का आपस में गुणा (Multiply) करें—वही आपका GCD (HCF) होगा।
उदाहरण: 12 और 18 का GCD (अलग-अलग भाग विधि द्वारा)
चरण 1: 12 का अलग से भाग विधि द्वारा गुणनखंड करें
| भाजक (Divisor) | संख्या |
| 2 | 12 |
| 2 | 6 |
| 3 | 3 |
| 1 |
चरण 2: 18 का अलग से भाग विधि द्वारा गुणनखंड करें
| भाजक (Divisor) | संख्या |
| 2 | 18 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
चरण 3: दोनों के Factors में से केवल Common (जो दोनों में हों) चुनें
$12 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3}$
$18 = \mathbf{2} \times \mathbf{3} \times 3$
यहाँ दोनों में $2$ और $3$ ऐसे अंक हैं जो दोनों के गुणनखंड में आए हैं।
LCM और GCD की अलग-अलग भाग विधि में मुख्य अंतर
LCM: इसमें सभी Common अंकों के साथ-साथ बचे हुए (Remaining) सभी अंकों को भी गुणा किया जाता है ($2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36$)।
GCD: इसमें केवल वही अंक चुने जाते हैं जो सभी संख्याओं में पूरी तरह Common हों ($2 \times 3 = 6$)।
निष्कर्ष (Conclusion)
LCM (लघुत्तम समापवर्तक) और GCD/HCF (महत्तम समापवर्तक) गणित के मूलभूत सिद्धांत हैं जो भिन्न (Fractions) को सरल करने, समय और कार्य (Time & Work) के प्रश्नों को हल करने तथा बीजगणित (Algebra) की समस्याओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
गुणनखंड विधि (Prime Factorization) और भाग विधि (Division Method) दोनों ही तरीकों से इन अवधारणाओं को समझना न केवल स्कूली गणित की नींव मजबूत करता है, बल्कि प्रतियोगी परीक्षाओं (जैसे SSC, Banking, Railways, CTET) में भी तेज़ और सटीक गणना करने में सहायता करता है।
— अमित पूनिया
संस्थापक एवं शिक्षक, EnglishEraWithAmitPoonia